CONJUNTOS

Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser posible discernir si un elemento arbitrario está o no en él. 

Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos los elementos de los que consta entre llaves,

$$A = \{ 1,2,3,4,5 \},$$

o implícita, dando una o varias características que determinen si un elemento dado está o no en el conjunto,

$$A = \{ \text{números naturales del }1\text{ al }5\}.$$

• $\mathbb{N}$, los números naturales: 1, 2, 3, …

• $\mathbb{N}_0$, los números naturales más el cero: 0, 1, 2, 3, …

• $\mathbb{Z}$, los números enteros: …, -2, -1, 0, 1, 2, …

• $\mathbb{Q}$, los números racionales: $\frac{p}{q}$.

• $\mathbb{R}$, los números reales.

• $\mathbb{C}$, los números complejos.

Dado un conjunto $A$, decimos que el elemento $a$ pertenece a $A$, y lo denotamos $a\in A$, si $a$ es un elemento del conjunto $A$.

Por ejemplo, si $A = \{ 1,2,3,4,5 \}$ entonces $1 \in A$ pero $6\notin A$. Otra manera implícita de expresar este conjunto $A$ es la siguiente:

$$A = \{n|n\in\mathbb{N} \wedge 1\leq n\leq 5\}.$$

Se lee del siguiente modo: “$A$ es el conjunto formado por los elementos $n$ tales que $n$ pertenece al conjunto los números naturales, $n$ es mayor o igual que 1 y $n$ es menor o igual que 5.”

Dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales $A=B$ cuando poseen los mismos elementos, es decir, cuando $x\in A\Leftrightarrow x\in B$.

El conjunto vacío $\varnothing$ es el que carece de elementos, es decir $\varnothing=\{\}$, o bien $\forall x, x\notin \varnothing$.

Un conjunto es unitario si contiene un único elemento, como por ejemplo $\{0\}$, $\{1\}$, $\{a\}$, $\{$cartón de leche$\}$, $\{\mathbb{N}\}$, …

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, decimos que $A$ está contenido o incluído en $B$ o que $A$ es un subconjunto de $B$, y lo denotamos $A\subset B$, si todo elemento de $A$ pertenece a $B$, es decir $x\in A \Rightarrow x\in B$.

$A=B$ $\Leftrightarrow$ $A\subset B$ y $A\supset B$.